Numerik

Ingenieurinformatik Teil 2, Sommersemester 2026

David Straub

Gliederung

1. Einführung in Matlab
2. Arbeiten mit Arrays
3. Funktionen und Kontrollstrukturen
4. Analysis
5. Lineare Algebra
6. Differentialgleichungen
7. Einführung in Simulink

Fahrplan – 2 Einheiten

Einheit 1 (heute): Lineare Gleichungssysteme

• Motivation
• Matrixoperationen in Matlab
• Lineare Gleichungssysteme: Formen, Rang, Konditionierung
• Lösung mit \ – wann exakt, wann Least-Squares?

Einheit 2: Eigenwertprobleme

• Eigenwerte und Eigenvektoren: eig
• Physikalische Interpretation
• Anwendung: Gekoppelte Schwingungen
• Verallgemeinertes Eigenwertproblem

Motivation: Ein Ingenieurproblem

Batteriezellen parallel schalten

Drei Batteriezellen mit unterschiedlichen Spannungen $U_1, U_2, U_3$ und Innenwiderständen $R_1, R_2, R_3$ werden parallel geschaltet.

Gesucht: Ströme $I_1, I_2, I_3$ durch jede Zelle.

Kirchhoffsche Gesetze

Maschenregel (für jede Zelle):

$$U_1 - I_1 R_1 - I_0 R_0 = 0$$

$$U_2 - I_2 R_2 - I_0 R_0 = 0$$

$$U_3 - I_3 R_3 - I_0 R_0 = 0$$

Knotenregel:

$$I_1 + I_2 + I_3 = I_0$$

4 Gleichungen, 4 Unbekannte → Lineares Gleichungssystem!

Als Matrixgleichung

$$\begin{pmatrix} R_1 & 0 & 0 & R_0 \\ 0 & R_2 & 0 & R_0 \\ 0 & 0 & R_3 & R_0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \\ U_3 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Kurzform: $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$

Frage: Wie lösen wir das in Matlab effizient?

Matrixoperationen

Wiederholung: Matrix-Arithmetik

Matrizen sind das zentrale Datenobjekt in Matlab:

A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];

C = A + B       % Addition
D = A * B       % Matrixmultiplikation (!)
E = A .* B      % Elementweise Multiplikation

Wichtig: * ist die mathematische Matrixmultiplikation!

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$

Transposition

A = [1 2 3; 4 5 6]

Punkt-Transposition: Reines Vertauschen von Zeilen/Spalten

A.'       % [1 4; 2 5; 3 6]

Komplex-konjugierte Transposition: Für komplexe Matrizen

A'        % Transponiert UND konjugiert komplex

Für reelle Matrizen sind .' und ' identisch.

Matrix-Vektor-Multiplikation

Ein lineares Gleichungssystem $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ ist eine Matrix-Vektor-Multiplikation:

A = [-1  1;
      1  1];
x = [1.5; 3.5];

b = A * x      % b = [2; 5]

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1.5 \\ 3.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$$

Wichtige Matrixoperationen

A = [1 2; 3 4];

det(A)      % Determinante
inv(A)      % Inverse Matrix
rank(A)     % Rang
cond(A)     % Konditionszahl

Diese Funktionen brauchen wir, um Gleichungssysteme zu verstehen!

Lineare Gleichungssysteme

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Allgemeine Form:

$$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$$

• $A$: $(m \times n)$-Matrix (Koeffizientenmatrix)
• $\boldsymbol{x}$: Spaltenvektor mit $n$ Unbekannten
• $\boldsymbol{b}$: Spaltenvektor mit $m$ Gleichungen

$m$ Gleichungen für $n$ Unbekannte

Formen von $A$

Quadratisch: $m = n$ (gleich viele Gleichungen wie Unbekannte)

A = [2 1; 1 3];    % 2×2

Überbestimmt: $m > n$ (mehr Gleichungen als Unbekannte)

A = [2 1; 1 3; -1 2];    % 3×2

Unterbestimmt: $m < n$ (weniger Gleichungen als Unbekannte)

A = [2 1 3];    % 1×3

Rang einer Matrix

Der Rang $\text{rank}(A)$ ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten:

A = [1  2  3;
     2  4  6];    % Zeile 2 = 2·Zeile 1

rank(A)           % 1 (nicht 2!)

Bedeutung: Gibt an, wie viele "echte" Gleichungen vorhanden sind.

$$\text{rank}(A) \leq \min(m, n)$$

Übung: Rang bestimmen

Welchen Rang haben diese Matrizen? Überlegen Sie erst, dann prüfen mit rank():

A1 = [1 2 3; 2 4 6; 1 1 1];
A2 = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];
A3 = [1 2; 3 6; 2 4];

Geometrische Interpretation

2 Gleichungen, 2 Unbekannte: Jede Gleichung = Gerade

$$\begin{aligned} -x + y &= 2 \\ x + y &= 5 \end{aligned}$$

Lösung = Schnittpunkt der Geraden

3 Gleichungen, 3 Unbekannte: Jede Gleichung = Ebene

Lösung = Schnittpunkt der Ebenen

Lösbarkeit: Quadratisches System

Für quadratische Systeme ($m = n$):

Fall 1: $\det(A) \neq 0$ und $\text{rank}(A) = n$
→ Genau eine Lösung für jedes $\boldsymbol{b}$

Fall 2: $\det(A) = 0$ oder $\text{rank}(A) < n$ (Matrix singulär)
→ Keine Lösung ODER unendlich viele Lösungen

A = [-1  1;
     -2  2];    % Zeile 2 = 2·Zeile 1

det(A)          % 0
rank(A)         % 1

Lösbarkeit: Nicht-quadratische Systeme

Überbestimmt ($m > n$):

• Falls $\text{rank}(A) = n$ und $\boldsymbol{b}$ im Spaltenraum: eine Lösung
• Sonst: keine exakte Lösung (aber bestmögliche Näherung möglich)

Unterbestimmt ($m < n$):

• Falls $\text{rank}(A) = m$: unendlich viele Lösungen
• Sonst: keine Lösung oder unendlich viele

Konditionierung

Die Konditionszahl misst, wie empfindlich die Lösung auf Störungen reagiert:

A = [1  1;
     1  1.0001];

cond(A)     % 40000 (schlecht konditioniert!)

Faustregel:

• $\kappa(A) < 100$: gut konditioniert
• $\kappa(A) > 10^{10}$: schlecht konditioniert
• $\kappa(A) = \infty$: singulär

Bedeutung: Bei $\kappa = 10^6$ können 6 Dezimalstellen im Ergebnis falsch sein!

Singuläre vs. schlecht konditionierte Matrix

% Singulär: det = 0, unendliche Konditionszahl
A1 = [1 2; 2 4];
det(A1)      % 0
cond(A1)     % Inf

% Schlecht konditioniert: det ≠ 0, aber sehr klein
A2 = [1 2; 2 4.001];
det(A2)      % 0.001
cond(A2)     % 16004

Singuläre Matrix: Keine eindeutige Lösung (mathematisches Problem)
Schlecht konditioniert: Lösung existiert, aber numerisch instabil

Exakte Lösung vs. Least-Squares

Exakte Lösung

Wenn $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ exakt lösbar ist:

A = [2 1; 1 3];
b = [5; 6];

x = ???        % Gesucht!

A * x          % Ergebnis ist EXAKT b

Probe: $A\boldsymbol{x} - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$

Keine exakte Lösung möglich

Überbestimmtes System – 3 Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt:

A = [-1    1;
      1    1;
     -0.4  1];
b = [0; 2; 0.5];

Keine Lösung erfüllt alle 3 Gleichungen gleichzeitig!

Was tun?

Least-Squares-Lösung

Idee: Finde $\boldsymbol{x}$, das den Fehler minimiert:

$$\min_{\boldsymbol{x}} \|A\boldsymbol{x} - \boldsymbol{b}\|^2$$

x = ???        % Bestmögliche Lösung

residuum = A * x - b     % ≠ 0, aber minimal!
norm(residuum)           % So klein wie möglich

Least-Squares = "Kleinste Quadrate" = Minimiere Summe der quadrierten Fehler

Wann exakt, wann Least-Squares?

Lösung mit Linksdivision \

Der Backslash-Operator \

Der universelle Löser für lineare Gleichungssysteme:

A = [-1  1;
      1  1];
b = [2; 5];

x = A \ b           % Lösung: [1.5; 3.5]

$$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{x} = A \backslash \boldsymbol{b}$$

\ vs. / – Linksdivision vs. Rechtsdivision

Linksdivision \: Löst $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$

x = A \ b      % "A nach links teilen"

Rechtsdivision /: Löst $\boldsymbol{x}A = \boldsymbol{b}$

x = b / A      % "A nach rechts teilen"
               % Äquivalent zu: x = (A' \ b')'

In der Praxis: Fast immer \ verwenden! / nur für spezielle Fälle (z.B. bei transponierten Systemen).

Was macht \ genau?

Matlab analysiert $A$ und wählt den optimalen Algorithmus:

Matlab wählt automatisch – aber Sie müssen das Ergebnis überprüfen!

Beispiel 1: Quadratisches System (exakt)

A = [-1  1;
      1  1];
b = [2; 5];

x = A \ b      % [1.5; 3.5]

% Probe:
norm(A*x - b)  % 0 → Exakte Lösung!

Beispiel 2: Überbestimmtes System (Least-Squares)

A = [-1    1;
      1    1;
     -0.4  1];
b = [0; 2; 0.5];

x = A \ b 

% Probe:
A * x          % ≠ b!
norm(A*x - b)  % ≠ 0 → Keine exakte Lösung!

Matlab gibt automatisch Least-Squares-Lösung!

Wichtig: Überprüfen Sie die Lösung!

Immer Residuum berechnen:

x = A \ b;
r = A*x - b;
fehler = norm(r);

if fehler < 1e-10
    disp('Exakte Lösung gefunden')
else
    disp('Least-Squares-Lösung (keine exakte Lösung)')
    fprintf('Fehler: %.3e\n', fehler)
end

Warnung: Singuläre Matrix

A = [1  2;
     2  4];    % Zeile 2 = 2·Zeile 1
b = [3; 4];

det(A)         % 0 (singulär!)
x = A \ b       % Warnung!

Ausgabe:

Warning: Matrix is singular to working precision.
x =
   Inf
  -Inf

Bei Singularität: Matlab warnt und gibt unsinnige Ergebnisse!

Warnung: Fast singuläre Matrix

A = [1      2;
     2  3.9999999999999995];  % Fast parallel!

det(A)         % -8.88e-16 (fast 0!)
x = A \ b

Ausgabe:

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
         Results may be inaccurate. RCOND = 1.233581e-17. 
x =
  1.0e+15 *
   -9.0072
    4.5036

Bei schlechter Konditionierung: Kleine Fehler → riesige Ergebnisse!

Beispiel: Lösung mit inv (nicht empfohlen!)

A = [-1  1;
      1  1];
b = [2; 5];

% Mit inv (funktioniert, aber ineffizient)
IA = inv(A);
x = IA * b          % [1.5; 3.5]

% Probe
A * x               % [2; 5] ✓
A * IA              % [1 0; 0 1] = Einheitsmatrix
det(A) * det(IA)    % -2 * -0.5 = 1

Aber: Für große Matrizen langsam und ungenau!

Zusammenfassung

Wichtigste Erkenntnisse

Lineare Gleichungssysteme: $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$

• Form von $A$: quadratisch, überbestimmt, unterbestimmt
• Rang und Konditionierung bestimmen Lösbarkeit
• Exakte Lösung vs. Least-Squares

Lösung mit \:

• Universeller Operator – wählt beste Methode
• Überprüfen: norm(A*x - b) → 0 bedeutet exakt
• Nicht inv(A)*b für LGS verwenden!

Matrixfunktionen:

• det(A), rank(A), cond(A) – Analyse
• inv(A) – okay für andere Zwecke, nicht für LGS